Étude du pendule simple

On écrit l'équation du pendule comme un système du premier ordre:

PenduleRule=NDSolve[{x'[t]==y[t],y'[t]==-Sin[x[t]],x[0] == 3,y[0] == 0},{x, y},{t, 0, 20},MaxSteps -> 200];

On trace ainsi une solution :

ParametricPlot[
      Evaluate[{t, x[t]} /. PenduleRule], {t, 0, 20}, 
      PlotPoints -> 100];

L'hodographe (courbe de (y, y')) est plus parlant

ParametricPlot[
      Evaluate[{x[t], y[t]} /. PenduleRule], {t, 0, 20}, 
      PlotPoints -> 100];

On peut obtenir plus facilement le portrait des phases :

∫(x''[t] x'[t]+x'[t] Sin[x[t]])\[DifferentialD]t

%/.{x[t] -> x,x'[t]->y}

ContourPlot[((y^2)/2) - Cos[x], {x, -5, 7}, {y, -2, 2}, 
      ColorFunction -> Hue, PlotPoints -> 50, 
      Contours -> {-1, -0.2, 0.6, 0.99, 1.01, 1.5}];

On distingue nettement la "catastrophe" du passage à 
un régime non périodique.

Étudions la période du mouvement du pendule 
lâché sans vitesse initiale:

T = 
      2 (Sqrt[2]) (∫_0^t0) 
                (1/(Sqrt[Cos[t] - Cos[t0]])) \[DifferentialD]t

On la trouve en exprimant le temps en fonction de l'angle. On a par changement de variable:

2 (Sqrt[2]) (1/(Sqrt[Cos[t] - Cos[t0]])) /. Cos[
          t] -> ((1 - (u^2))/(1 + (u^2)))

N'oublions pas dt et du: u= tan t/2… 
2 du=(1+u^2) dt

integrande = Simplify[((% 2)/(1 + (u^2)))]

Pour aller plus loin, mettons ceci au carré:

Simplify[(integrande^2)]

toto = Factor[Denominator[%]]

Ecrivons ça autrement:

2 Cos[(t0/2)]^2 (1 + (u^2)) (Tan[(t0/2)]^2 - 
          (u^2));

Ceci suggère un dernier changement de variable: u = x Tan[t0/2]; cela donne

periode = (∫_0^1) 
              (4/(Cos[
                  (t0/2)] (Sqrt[(1 - (x^2)) (1 + (x^2) Tan[(t0/2)]^2)]))) \[DifferentialD]x

À défaut d'une expression complète (que l'on peut obtenir par le package
"Calculus`EllipticIntegrate`" et pas mal de travail supplémentaire…)
on peut regarder ce qui se passe pour t0 voisin de 0:

Normal[
      Series[(4/(Cos[(t0/2)] (Sqrt[(1 - (x^2)) (1 + (x^2) Tan[(t0/2)]^2)]))), {t0, 0, 4}]]

Apart[Expand[(∫_0^1) % \[DifferentialD]x]]

periode = 
      2 π (1 + ((t0^2)/16) + ((11 (t0^4))/3072) + 
            O[(t0^6)])