Algèbre générale
17/10/19 19:43
Algèbre générale: Arithmétique, groupes & autres structures.
Z/nZ. Def, propriétés. Feuille d'exos.
Groupes. Révisions sup (déf, morphismes, noyaux et images).
Approfondissements sur les groupes: groupe produit, groupe engendré par une partie. Les s-groupes de Z sont les nZ, grâce à la division euclidienne.
Groupes monogènes, cycliques.
Ils sont isomorphes à Z ou à un Z/nZ.
Ordre d'un élément d'un groupe.
C'est la plus petite puissance n telle que xn=e. C'est le nombre de puissances distinctes, i.e. card (gr(x)).
Si xn=e alors l'ordre de x divise n.
Dans un groupe fini l'ordre de l'élément divise le cardinal du groupe (Lagrange pour les noobs).
Anneaux. Idéaux d'un anneau commutatif. Idéal principal: (x) = x.A. Les idéaux de Z sont les nZ.
Applications: Bezout, pgcd, ppcm. Thm de Gauss [dans un anneau principal]
L'anneau Z/nZ. Caractérisation des éléments inversibles. Corps Z/pZ pour p premier.
Arithmétique de K[X]: c'est essentiellement la même que celle de Z puisqu'il dispose aussi d'une division euclidienne et donc tout idéal est principal.
PGCD, facteurs irréductibles; cas réel et complexe. Existence et « unicité » de la décomposition en produit de facteurs irréductibles.
Un idéal de K[X] (par exemple un idéal de polynômes annulateurs) est engendré par un polynôme minimal.
Sujet DS2
Corrigé DS2
Sujet DS2 bis
Corrigé DS2 bis
DM pour la rentrée: entiers de Gauss et sommes de 2 carrés.
Z/nZ. Def, propriétés. Feuille d'exos.
Groupes. Révisions sup (déf, morphismes, noyaux et images).
Approfondissements sur les groupes: groupe produit, groupe engendré par une partie. Les s-groupes de Z sont les nZ, grâce à la division euclidienne.
Groupes monogènes, cycliques.
Ils sont isomorphes à Z ou à un Z/nZ.
Ordre d'un élément d'un groupe.
C'est la plus petite puissance n telle que xn=e. C'est le nombre de puissances distinctes, i.e. card (gr(x)).
Si xn=e alors l'ordre de x divise n.
Dans un groupe fini l'ordre de l'élément divise le cardinal du groupe (Lagrange pour les noobs).
Anneaux. Idéaux d'un anneau commutatif. Idéal principal: (x) = x.A. Les idéaux de Z sont les nZ.
Applications: Bezout, pgcd, ppcm. Thm de Gauss [dans un anneau principal]
L'anneau Z/nZ. Caractérisation des éléments inversibles. Corps Z/pZ pour p premier.
Arithmétique de K[X]: c'est essentiellement la même que celle de Z puisqu'il dispose aussi d'une division euclidienne et donc tout idéal est principal.
PGCD, facteurs irréductibles; cas réel et complexe. Existence et « unicité » de la décomposition en produit de facteurs irréductibles.
Un idéal de K[X] (par exemple un idéal de polynômes annulateurs) est engendré par un polynôme minimal.
Sujet DS2
Corrigé DS2
Sujet DS2 bis
Corrigé DS2 bis
DM pour la rentrée: entiers de Gauss et sommes de 2 carrés.