Intégrales généralisées

Intégration sur un intervalle quelconque: définitions. Lire la suite...

Fin topologie

Continuité des applications linéaires.
Elle est caractérisée par la "llipschitzianéité en 0", i.e. qu'il existe M / ||f(x)||≤ M ||x||
La notion de norme ||| ||| n'est plus au programme.

Les compacts sont définis par l'existence d'une v.a. pour toute suite. Compact => fermé borné.
Compact = produit de compacts = fermé dans compact = image continue d’un compact (attention! image
directe).
Toute fonction continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes (existence de minima et maxima).
Dans un compact une suite CV <=> elle a une UNIQUE valeur d'adhérence.

En
dim finie toutes les normes sont équivalentes, et toutes les applications linéaires sont continues, et tous les ev sont des fermés, et tous les fermés bornés sont compacts.

Et le père noël existe, aussi.


Enfin on définit la
connexité par arcs qui exprime qu’une partie est « d’un seul bloc ».
Connexe par arc = entre deux points il y a un chemin continu.
Tout convexe est connexe (p.a.). Idem pour les parties étoilées.
Les connexes de
R sont les intervalles (i.e. les convexes).
L’image continue d’un connexe l’est. Contraposée.


* * * * * * * * * * * * * *

Le Corrigé du DM 5 est en ligne.

Suite topologie

Suite de la topologie: convergence, continuité d'une fonction, lien avec ouverts, fermés. Lire la suite...

Début topologie

Début du cours de Topologie. Feuille d'exos
Normes, evn. Normes usuelles. Boules. Distance (entre points, entre un point et une partie).
Norme produit, norme induite (restriction à un sev).
Parties bornées. Applications lipschitziennes.

Suite CV dans un evn.
Normes équivalentes (l'équivalence préserve la notion de CV).

Savoir utiliser des sups et des infs.

Sujet du DM 5 (puissances d’un endomorphisme).

Réduction des endomorphismes

Diagonalisation et trigonalisation. Lire la suite...