13 December 2020
Fin topologie
18/12/20 16:41
Les compacts sont définis par l'existence d'une sous-suite CV (dans le compact) pour toute suite. Compact
Compact = produit de compacts = fermé dans compact = image continue d’un compact (attention! image directe).
Toute fonction continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes (existence de minima et maxima).
Dans un compact une suite CV
En dim finie toutes les normes sont équivalentes, et toutes les applications linéaires sont continues, et tous les ev sont des fermés, et tous les fermés bornés sont compacts.
⇒ fermé borné. Compact = produit de compacts = fermé dans compact = image continue d’un compact (attention! image directe).
Toute fonction continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes (existence de minima et maxima).
Dans un compact une suite CV
⇔ elle a une UNIQUE valeur d'adhérence.En dim finie toutes les normes sont équivalentes, et toutes les applications linéaires sont continues, et tous les ev sont des fermés, et tous les fermés bornés sont compacts.
Et le père noël existe, aussi. 
Enfin on définit la connexité par arcs qui exprime qu’une partie est « d’un seul bloc ».
Connexe par arc = entre deux points il y a un chemin continu.
Tout convexe est connexe (p.a.). Idem pour les parties étoilées.
Les connexes de R sont les intervalles (i.e. les convexes).
L’image continue d’un connexe l’est. Contraposée.