Algèbre générale: fin
14/10/16 19:13
Groupes. Groupes monogènes, cycliques.
Ils sont isomorphes à Z ou à un Z/nZ. Ordre d'un élément d'un groupe.
C'est la plus petite puissance n telle que xn=e. C'est le nombre de puissances distinctes, i.e. card (gr(x)).
Si xn=e alors l'ordre de x divise n.
Dans un groupe fini l'ordre de l'élément divise le cardinal du groupe (Lagrange pour les noobs).
Anneaux. Idéaux d'un anneau commutatif. Idéal principal: (x) = x.A. Les idéaux de Z sont les nZ.
Applications: Bezout, pgcd, ppcm. Thm de Gauss.
L'anneau Z/nZ. Caractérisation des éléments inversibles. Corps Z/pZ pour p premier.
Arithmétique de K[X]: c'est essentiellement la même que celle de Z puisqu'il dispose aussi d'une division euclidienne.
PGCD, facteurs irréductibles; cas réel et complexe. Existence et « unicité » de la décomposition en produit de facteurs irréductibles.
Un idéal de K[X] (par exemple un idéal de polynômes annulateurs) est engendré par un polynôme minimal.
Ils sont isomorphes à Z ou à un Z/nZ. Ordre d'un élément d'un groupe.
C'est la plus petite puissance n telle que xn=e. C'est le nombre de puissances distinctes, i.e. card (gr(x)).
Si xn=e alors l'ordre de x divise n.
Dans un groupe fini l'ordre de l'élément divise le cardinal du groupe (Lagrange pour les noobs).
Anneaux. Idéaux d'un anneau commutatif. Idéal principal: (x) = x.A. Les idéaux de Z sont les nZ.
Applications: Bezout, pgcd, ppcm. Thm de Gauss.
L'anneau Z/nZ. Caractérisation des éléments inversibles. Corps Z/pZ pour p premier.
Arithmétique de K[X]: c'est essentiellement la même que celle de Z puisqu'il dispose aussi d'une division euclidienne.
PGCD, facteurs irréductibles; cas réel et complexe. Existence et « unicité » de la décomposition en produit de facteurs irréductibles.
Un idéal de K[X] (par exemple un idéal de polynômes annulateurs) est engendré par un polynôme minimal.