Suite topologie
28/11/16 19:43
Parties spéciales d'un evn: ouverts, fermés.
Adhérence, intérieur, frontière.
Point adhérent, point intérieur.
L'adhérence est l'ensemble des limites des suites, ou encore l'ensemble des points situés à distance nulle.
Partie dense.
Continuité: caractérisation par l'image des suites CV, par images inverses de fermés ou d'ouverts.
Cette dernière propriété permet de produire des ouverts (resp. fermés) par conditions "f(x)
Continuité des applications linéaires.
Elle est caractérisée par la "llipschitzianéité en 0", i.e. qu'il existe M / ||f(x)||≤ M ||x||
La notion de norme ||| ||| n'est plus au programme.
Les compacts sont définis par l'existence d'une v.a. pour toute suite. Compact => fermé borné.
Compact = produit de compacts = fermé dans compact = image continue d’un compact (attention! image directe).
Tte fn continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes (existence de minima et maxima).
Dans un compact une suite CV <=> elle a une UNIQUE valeur d'adhérence.
En dim finie toutes les normes sont équivalentes, et toutes les applications linéaires sont continues, et tous les ev sont des fermés, et tous les fermés bornés sont compacts.
Et le père noël existe, aussi.
Le corrigé du DM 4 est en ligne.
Adhérence, intérieur, frontière.
Point adhérent, point intérieur.
L'adhérence est l'ensemble des limites des suites, ou encore l'ensemble des points situés à distance nulle.
Partie dense.
Continuité: caractérisation par l'image des suites CV, par images inverses de fermés ou d'ouverts.
Cette dernière propriété permet de produire des ouverts (resp. fermés) par conditions "f(x)
Continuité des applications linéaires.
Elle est caractérisée par la "llipschitzianéité en 0", i.e. qu'il existe M / ||f(x)||≤ M ||x||
La notion de norme ||| ||| n'est plus au programme.
Les compacts sont définis par l'existence d'une v.a. pour toute suite. Compact => fermé borné.
Compact = produit de compacts = fermé dans compact = image continue d’un compact (attention! image directe).
Tte fn continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes (existence de minima et maxima).
Dans un compact une suite CV <=> elle a une UNIQUE valeur d'adhérence.
En dim finie toutes les normes sont équivalentes, et toutes les applications linéaires sont continues, et tous les ev sont des fermés, et tous les fermés bornés sont compacts.
Et le père noël existe, aussi.
Le corrigé du DM 4 est en ligne.