Endomorphismes des espaces euclidiens
30/01/17 14:13
DS 6 (un peu de tout) et son corrigé.
Famille totale, à partir de l’exemple de « la » famille de polynômes orthogonaux échelonnée en degré associée à un produit scalaire.
Endomorphismes symétriques (la notion d’adjoint est rigoureusement hors-programme)
L’orthogonal d’un sev stable est stable. Les espaces propres sont orthogonaux
Tout endomorphisme symétrique est diagonalisable dans une BON. Application aux matrices symétriques.
Isométries, matrices orthogonales
Définition d'une isométrie par la condition u u*=id, ou matriciellement par les colonnes qui forment une BON (ou la condition (inverse = transposée)).
Vp, déterminant.
Une rotation est une isométrie de déterminant +1.
Groupes orthogonal et spécial orthogonal.
Caractérisations des isométries.
À quoi ressemblent les isométries en dim 2. Recherche des éléments d'une rotation en dim 3.
Diagonalisation par blocs 1x1 ou 2x2 d’une isométrie dans une BON. Diagonalisation de toute rotation par blocs 2x2.
Sujet du DM 7 à rendre après les vacances.
Famille totale, à partir de l’exemple de « la » famille de polynômes orthogonaux échelonnée en degré associée à un produit scalaire.
Endomorphismes symétriques (la notion d’adjoint est rigoureusement hors-programme)
L’orthogonal d’un sev stable est stable. Les espaces propres sont orthogonaux
Tout endomorphisme symétrique est diagonalisable dans une BON. Application aux matrices symétriques.
Isométries, matrices orthogonales
Définition d'une isométrie par la condition u u*=id, ou matriciellement par les colonnes qui forment une BON (ou la condition (inverse = transposée)).
Vp, déterminant.
Une rotation est une isométrie de déterminant +1.
Groupes orthogonal et spécial orthogonal.
Caractérisations des isométries.
À quoi ressemblent les isométries en dim 2. Recherche des éléments d'une rotation en dim 3.
Diagonalisation par blocs 1x1 ou 2x2 d’une isométrie dans une BON. Diagonalisation de toute rotation par blocs 2x2.
Sujet du DM 7 à rendre après les vacances.