Convexité. Début algèbre fondamentale.
29/09/14 12:00
Barycentre, associativité du barycentre.
Barycentre à coefficients positifs. Segment, partie convexe.
Fonction convexe d'un intervalle de R à valeurs dans R.
Définition par les cordes au dessus du graphe.
De façon équivalente: l'épigraphe est convexe.
Théorème des pentes. Caractérisation de la convexité par les pentes croissantes, par la dérivée seconde positive.
Application à des inégalités exprimant la convexité d'une fonction, comme l'inégalité arithmético-géométrique.
Algèbre générale: Arithmétique, groupes & autres structures.
Z/nZ. Def, propriétés. Feuille d'exos.
Approfondissements sur les groupes: groupe produit, groupe engendré par une partie, groupes monogènes, cycliques.
Ils sont isomorphes à Z ou à un Z/nZ. Ordre d'un élément d'un groupe.
C'est la plus petite puissance n tq x^n=e. C'est le nombre de puissances distinctes, i.e. card (gr(x)).
Si x^n=e alors l'ordre de x divise n.
Dans un groupe fini l'ordre de l'élément divise le cardinal du groupe (Lagrange pour les noobs).
Les s-groupes de Z sont les nZ, grâce à la division euclidienne.
Barycentre à coefficients positifs. Segment, partie convexe.
Fonction convexe d'un intervalle de R à valeurs dans R.
Définition par les cordes au dessus du graphe.
De façon équivalente: l'épigraphe est convexe.
Théorème des pentes. Caractérisation de la convexité par les pentes croissantes, par la dérivée seconde positive.
Application à des inégalités exprimant la convexité d'une fonction, comme l'inégalité arithmético-géométrique.
Algèbre générale: Arithmétique, groupes & autres structures.
Z/nZ. Def, propriétés. Feuille d'exos.
Approfondissements sur les groupes: groupe produit, groupe engendré par une partie, groupes monogènes, cycliques.
Ils sont isomorphes à Z ou à un Z/nZ. Ordre d'un élément d'un groupe.
C'est la plus petite puissance n tq x^n=e. C'est le nombre de puissances distinctes, i.e. card (gr(x)).
Si x^n=e alors l'ordre de x divise n.
Dans un groupe fini l'ordre de l'élément divise le cardinal du groupe (Lagrange pour les noobs).
Les s-groupes de Z sont les nZ, grâce à la division euclidienne.