Complets, compacts, connexes.
12/01/14 10:49
Critère de continuité d'une application linéaire.
Le plus petit M tq pour tout x, ||u(x)||≤ M ||x|| définit une norme ||| u ||| sur l'espace des applis linéaires continues.
Cette norme est sous-multiplicative: ||| u ||| = sup || u(x) || / || x ||.
Espaces complets. Banach. R, C sont des Banach ainsi que K^n.
Complet => Fermé.
Les compacts sont définis par l'existence d'une v.a. pour toute suite. En dimension finie ce sont exactement les fermés bornés.
Thm de Heine. Image continue du compact et surtout
Tte fn continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
Sujet du DS 5, et son corrigé.
Correction du DM 5
Le plus petit M tq pour tout x, ||u(x)||≤ M ||x|| définit une norme ||| u ||| sur l'espace des applis linéaires continues.
Cette norme est sous-multiplicative: ||| u ||| = sup || u(x) || / || x ||.
Espaces complets. Banach. R, C sont des Banach ainsi que K^n.
Complet => Fermé.
Les compacts sont définis par l'existence d'une v.a. pour toute suite. En dimension finie ce sont exactement les fermés bornés.
Thm de Heine. Image continue du compact et surtout
Tte fn continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
Sujet du DS 5, et son corrigé.
Correction du DM 5