08 December 2013
Fin algèbre linéaire, début DSF
14/12/13 18:56
Séries de Fourier: définition des coefficients, de la série. Cas d'une fonction définie comme somme d'une série unift CV de sin et cos (c'est SA série de Fourier).
Lemme de Lebesgue : les coefficients tendent vers 0.
Coefficients de la dérivée.
Interprétation géométrique : la somme partielle de la série de Fourier est le polynôme trigo le plus proche de degré donné, au sens de la norme 2.
Théorèmes :
Weierstrass trigonométrique (il y a une suite de polynômes trigonométriques — PAS la série de Fourier — qui converge uniformément vers le signal continu de départ)
Parseval (CV pour la norme 2); injectivité du DSF pour les fns continues.
Bientôt les thms de Dirichlet (CV simple quand C1 par morceaux).
Lemme de Lebesgue : les coefficients tendent vers 0.
Coefficients de la dérivée.
Interprétation géométrique : la somme partielle de la série de Fourier est le polynôme trigo le plus proche de degré donné, au sens de la norme 2.
Théorèmes :
Weierstrass trigonométrique (il y a une suite de polynômes trigonométriques — PAS la série de Fourier — qui converge uniformément vers le signal continu de départ)
Parseval (CV pour la norme 2); injectivité du DSF pour les fns continues.
Bientôt les thms de Dirichlet (CV simple quand C1 par morceaux).
Fin de la réduction des endomorphismes
08/12/13 19:16
Thm de Cayley Hamilton. Les vp sont aussi les racines du minimal.
Diagonalisation: définition. La condition suffisante mais pas nécessaire: n vp ≠ (i.e. pol car scindé à racines simples).
Corrigé du DM 4 (polynômes de Tshebychev) (orthographe à débattre dans l'alphabet romain, en fait c'est Чебышёв)
Diagonalisation. Cas simple (n vp ≠), cas général (critère de l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples, en particulier le minimal, pas le caractéristique !).
Je donne le critère hors-programme, mais d'usage pratique, sur la multiplicité des vp (dans le poly caractéristique) = dimension des espaces propres.
Pratique de la réduction. L'autre technique de calcul des puissances: division euclidienne par un polynôme annulateur, on trouve le reste en posant X = chacune des vp.
Théorème de trigonalisation ssi le poly caract. est scindé.
Seul algorithme pratique: on prend un (maximum de) vecteur propre, on complète en une base, et on itère sur le bloc restant.
Réduction d'un endomorphisme nilpotent d'indice n (hors-programme mais formateur).
Enoncé du DS 4 et son corrigé.
Diagonalisation: définition. La condition suffisante mais pas nécessaire: n vp ≠ (i.e. pol car scindé à racines simples).
Corrigé du DM 4 (polynômes de Tshebychev) (orthographe à débattre dans l'alphabet romain, en fait c'est Чебышёв)
Diagonalisation. Cas simple (n vp ≠), cas général (critère de l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples, en particulier le minimal, pas le caractéristique !).
Je donne le critère hors-programme, mais d'usage pratique, sur la multiplicité des vp (dans le poly caractéristique) = dimension des espaces propres.
Pratique de la réduction. L'autre technique de calcul des puissances: division euclidienne par un polynôme annulateur, on trouve le reste en posant X = chacune des vp.
Théorème de trigonalisation ssi le poly caract. est scindé.
Seul algorithme pratique: on prend un (maximum de) vecteur propre, on complète en une base, et on itère sur le bloc restant.
Réduction d'un endomorphisme nilpotent d'indice n (hors-programme mais formateur).
Enoncé du DS 4 et son corrigé.