Réduction des endomorphismes
13/12/19 20:31
Théorème des noyaux. Corollaire: les sev propres sont toujours en somme directe.
Thm de Cayley Hamilton.
Diagonalisation.
Equivalence des définitions:
* il existe une base (resp. un changement de base) où la matrice est diagonale, une base constituée de vecteurs propres
* les sev propres sont en somme directe
CNS:
* il existe un polynôme annulateur SARS (<=> le minimal est SARS)
* pol. car. scindé et (multiplicité des vp = dim des espaces propres)
CS simple: n vp distinctes.
La notion (hors-programme) du polynôme radical (toutes les vp mais simples) est présentée, pour essayer d’aider à la compréhension de la diagonalisabilité.
Pratique de la réduction.
Calcul des puissances par diagonalisation.
L' autre technique de calcul des puissances: division euclidienne par un polynôme annulateur, on trouve le reste en posant X = chacune des vp.
Théorème de trigonalisation : u est diagonalisable ssi le pol. caract. est scindé.
Seul algorithme pratique: on prend un (maximum de) vecteur propre, on complète en une base, et on itère sur le bloc restant.
Endomorphismes nilpotents. Indice de nilpotence. Réduction dans le cas où indice = n.
Un théorème avancé: décomposition par blocs diago+nilpotent (mais la décomposition de Dunford est HP) (celle de Jordan est Right In Outer Space).
Thm de Cayley Hamilton.
Diagonalisation.
Equivalence des définitions:
* il existe une base (resp. un changement de base) où la matrice est diagonale, une base constituée de vecteurs propres
* les sev propres sont en somme directe
CNS:
* il existe un polynôme annulateur SARS (<=> le minimal est SARS)
* pol. car. scindé et (multiplicité des vp = dim des espaces propres)
CS simple: n vp distinctes.
La notion (hors-programme) du polynôme radical (toutes les vp mais simples) est présentée, pour essayer d’aider à la compréhension de la diagonalisabilité.
Pratique de la réduction.
Calcul des puissances par diagonalisation.
L' autre technique de calcul des puissances: division euclidienne par un polynôme annulateur, on trouve le reste en posant X = chacune des vp.
Théorème de trigonalisation : u est diagonalisable ssi le pol. caract. est scindé.
Seul algorithme pratique: on prend un (maximum de) vecteur propre, on complète en une base, et on itère sur le bloc restant.
Endomorphismes nilpotents. Indice de nilpotence. Réduction dans le cas où indice = n.
Un théorème avancé: décomposition par blocs diago+nilpotent (mais la décomposition de Dunford est HP) (celle de Jordan est Right In Outer Space).