Complets, compacts, connexes.
06/01/12 10:49
Corrigé du DM 5.
Espaces complets. Banach. R, C sont des Banach ainsi que K^n.
Complet => Fermé.
Continuité des applications linéaires.
Le plus petit M tq pour tout x, ||u(x)||≤ M ||x|| définit une norme ||| u ||| sur l'espace des applis linéaires continues.
Cette norme est sous-multiplicative.
Les compacts sont définis par l'existence d'une v.a. pour toute suite. En dimension finie ce sont exactement les fermés bornés. Tte fn continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
En dim finie toutes les normes sont équivalentes, et toutes les applications linéaires sont continues, et tous les ev (tous les fermés, même) sont des Banach. Et le Père Noël existe, aussi.
Notion de connexité par arc: définition, image par une application continue. Convexe => connexe par arc.
Sujet du DS 5, et son corrigé.
Espaces complets. Banach. R, C sont des Banach ainsi que K^n.
Complet => Fermé.
Continuité des applications linéaires.
Le plus petit M tq pour tout x, ||u(x)||≤ M ||x|| définit une norme ||| u ||| sur l'espace des applis linéaires continues.
Cette norme est sous-multiplicative.
Les compacts sont définis par l'existence d'une v.a. pour toute suite. En dimension finie ce sont exactement les fermés bornés. Tte fn continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes.
En dim finie toutes les normes sont équivalentes, et toutes les applications linéaires sont continues, et tous les ev (tous les fermés, même) sont des Banach. Et le Père Noël existe, aussi.
Notion de connexité par arc: définition, image par une application continue. Convexe => connexe par arc.
Sujet du DS 5, et son corrigé.