Fin de la réduction des endos et de l'année
10/12/11 18:53
Réduction des endomorphismes: suite.
Polynôme caractéristique, ses coefficients les plus simples. Intérêt.
Théorème de Cayley Hamilton. Les vp sont aussi les racines du minimal.
Diagonalisation. Cas simple (n vp ≠), cas général (critère de l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples, en particulier le minimal, pas le caractéristique !).
Je donne le critère hors-programme, mais d'usage pratique, sur la multiplicité des vp (dans le poly caractéristique) = dimension des espaces propres.
Pratique de la réduction. L'autre technique de calcul des puissances: division euclidienne par un polynôme annulateur, on trouve le reste en posant X = chacune des vp.
Théorème de trigonalisation ssi le poly caract. est scindé.
Seul algorithme pratique: on prend un (maximum de) vecteur propre, on complète en une base, et on itère sur le bloc restant.
Réduction d'un endomorphisme nilpotent d'indice n (hors-programme mais formateur).
DS 4: les polynômes de Tchébitchev comme famille orthogonale.
Et son corrigé bien frais.
Début de la fin de la topologie:
Ouverts, fermés. Adhérence et intérieur. Frontière (juste la définition).
Utilisation: l'adhérence est l'ensemble des limites de suites à valeurs dans la partie. Intérieur = pts avec airbags.
Critère de continuité d'une application linéaire. Norme associée: ||| u ||| = sup || u(x) || / || x ||.
Elle est sous-multiplicative.
Polynôme caractéristique, ses coefficients les plus simples. Intérêt.
Théorème de Cayley Hamilton. Les vp sont aussi les racines du minimal.
Diagonalisation. Cas simple (n vp ≠), cas général (critère de l'existence d'un polynôme annulateur scindé à racines simples, en particulier le minimal, pas le caractéristique !).
Je donne le critère hors-programme, mais d'usage pratique, sur la multiplicité des vp (dans le poly caractéristique) = dimension des espaces propres.
Pratique de la réduction. L'autre technique de calcul des puissances: division euclidienne par un polynôme annulateur, on trouve le reste en posant X = chacune des vp.
Théorème de trigonalisation ssi le poly caract. est scindé.
Seul algorithme pratique: on prend un (maximum de) vecteur propre, on complète en une base, et on itère sur le bloc restant.
Réduction d'un endomorphisme nilpotent d'indice n (hors-programme mais formateur).
DS 4: les polynômes de Tchébitchev comme famille orthogonale.
Et son corrigé bien frais.
Début de la fin de la topologie:
Ouverts, fermés. Adhérence et intérieur. Frontière (juste la définition).
Utilisation: l'adhérence est l'ensemble des limites de suites à valeurs dans la partie. Intérieur = pts avec airbags.
Critère de continuité d'une application linéaire. Norme associée: ||| u ||| = sup || u(x) || / || x ||.
Elle est sous-multiplicative.