Intégrales dépendant d'un paramètre
25/01/13 22:40
Thm de convergence dominée, thm d'intégration terme à terme (quand la série des intégrales des v.a. converge).
Philosophie des "conditions de domination".
Intégrales dépendant d'un paramètre: continuité, dérivabilité, intégrabilité (i.e. thm de Fubini sur [a, b]x[c, d]).
Intégrales doubles sur le produit de deux intervalles quelconques.
une fn continue et positive est intégrable sur AxB ssi les intégrales sur [a,b]x[c,d] sont bornées (avec [a,b] dans A etc), et l'intégrale est le sup de ces valeurs.
On peut aussi la calculer par intégration par tranches (Fubini positif), ET vérifier ainsi son intégrabilité, ET intervertir les intégrales.
Dans le cas d'une fonction à valeurs complexes:
f est intégrable ssi |f| l'est, son intégrale s'obtient à partir des parties réelles et imaginaires qui s'obtiennent à partir de leur parties positives et négatives. En pratique…
Si f est intégrable et
• f(., y) est C0 pm & intégrable et
• y -> ∫ f(x,y) dx itou (et de trois !),
alors on peut intégrer f /. x, puis /. y.
Si on a les intégrabilités dans l'autre sens, alors on peut intervertir les intégrales.
Formule du changement de variable en polaires. Exclusivement (sur quart de plan, demi-plan, plan entier).
Philosophie des "conditions de domination".
Intégrales dépendant d'un paramètre: continuité, dérivabilité, intégrabilité (i.e. thm de Fubini sur [a, b]x[c, d]).
Intégrales doubles sur le produit de deux intervalles quelconques.
une fn continue et positive est intégrable sur AxB ssi les intégrales sur [a,b]x[c,d] sont bornées (avec [a,b] dans A etc), et l'intégrale est le sup de ces valeurs.
On peut aussi la calculer par intégration par tranches (Fubini positif), ET vérifier ainsi son intégrabilité, ET intervertir les intégrales.
Dans le cas d'une fonction à valeurs complexes:
f est intégrable ssi |f| l'est, son intégrale s'obtient à partir des parties réelles et imaginaires qui s'obtiennent à partir de leur parties positives et négatives. En pratique…
Si f est intégrable et
• f(., y) est C0 pm & intégrable et
• y -> ∫ f(x,y) dx itou (et de trois !),
alors on peut intégrer f /. x, puis /. y.
Si on a les intégrabilités dans l'autre sens, alors on peut intervertir les intégrales.
Formule du changement de variable en polaires. Exclusivement (sur quart de plan, demi-plan, plan entier).