(presque) Fin TOPO

Critère de continuité d'une application linéaire.
Le plus petit M tq pour tout x, ||u(x)||≤ M ||x|| définit une norme ||| u ||| sur l'espace des applis linéaires continues.
Cette norme est sous-multiplicative: ||| u ||| = sup || u(x) || / || x ||.

Espaces
complets. Banach. R, C sont des Banach ainsi que K^n.
Complet => Fermé.

Les
compacts sont définis par l'existence d'une v.a. pour toute suite. En dimension finie ce sont exactement les fermés bornés.
Thm de Heine. Image continue du compact et surtout
Tte fn continue réelle sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

DM5 et son grand frère centralien pour la rentrée.